Ecuación irracional

Se llama ecuación irracional aquella que contiene una incógnita (o bien una expresión algebraica racional algebraica de la incógnita) bajo el signo radical. En matemáticas elementales las soluciones de las ecuaciones irracionales se buscan en el conjunto de los números reales ℝ.

Consideraciones

Cualquier ecuación irracional mediante las operaciones algebraicas ( de multiplicación, división, elevación a una potencia entera de los dos miembros de la ecuación) puede ser reducida a una ecuación algebraica racional.Hay que tener presente que la ecuación obtenida mediante las operaciones citadas puede contener raíces, llamadas extrañas y no ser equivalente a la ecuación original.

Resolución

En forma general es muy difícil señalar algún método universal de resolución de cualquiera ecuación irracional; sin embargo, se va a indicar procedimientos.

Procedimiento 1

Se consigue con la liberación de radicales mediante la elevación sucesiva de ambos miembros de la ecuación a la potencia natural respectiva. Hay que tener presente que la elevación a una potencia impar guarda la equivalencia ecuacional; en el caso de potencias pares se obtiene, generalmente, una ecuación no equivalente a la original.

Ejemplo

(1)::${\sqrt {P(x)}}$ + ${\sqrt {Q(x)}}$ = R(x),

donde P(x), Q(x), R(x) son ciertos polinomios. Los valores admisibles de la incógnita x ocurren cuando P(x)≥ 0, R(x)≥ 0.

Elevando a ambos miembros de la ecuación (1) al cuadrado se obtiene

2${\sqrt {P(x)Q(x)}}$ = R²(x) - P(x) - Q(x).

Después de una repetida elevación al cuadrado la ecuación resulta convertida en algebraica

4P(x)Q(x) = [R²(x)- P(x) -Q(x)]².

Procedimiento 2

Consiste en la introducción de nuevas incógnitas, respecto a las cuales se obtiene una ecuación irracional más sencilla o una ecuación racional.

Ejemplo

Resolver la ecuación irracional

$(3-x){\sqrt[{3}]{\frac {3-x}{x-1}}}+(x-1){\sqrt[{3}]{\frac {x-1}{3-x}}}=2$

El conjunto de valores admisibles de esta ecuación es:

x ∈ (-∞;1) ∪ (1;3) ∪ (3;+∞)

Poniendo ${\sqrt[{3}]{\frac {3-x}{x-1}}}=y$, después del reemplazo obtenemos la ecuación

$(3-x)y+{\frac {x-1}{y}}=2$

o la ecuación equivalente

$(3-x)y^{2}-2y+x-1=0$,

la cual puede considerarse como ecuación de segundo grado respecto a y. Resolviendo esta ecuación, resulta

$y$₁ $=1$; $y$ ₂ $={\frac {x-1}{3-x}}$

Finalmente se obtiene

${\frac {3-x}{x-1}}=1$; ${\frac {3-x}{x-1}}=({\frac {x-1}{3-x}})^{3}$

Resolviendo estas ecuaciones, hallamos que la ecuación irracional propuesta admite una única raíz $x=2$

Véase además

• Ecuación trascendente